零点定理是数学中的一个重要定理，它用于证明函数存在零点的情况。使用零点定理需要满足以下两个条件：
1. 连续性：被研究的函数在所考虑的区间内是连续的。这个条件保证了函数值可以在一段区间内取到，并且在此区间内不会出现突变或跳跃。
2. 反号性：函数在所考虑的区间的两个端点处的函数值相反。也就是说，如果f(a)和f(b)异号（正负相反），则在[a,b]区间内至少存在一个零点。这个条件保证了函数在两个端点处有不同的符号，因此在此区间内必然存在函数值为零的点。
需要注意的是，只有满足这两个条件，才能使用零点定理来证明函数存在零点。
零点存在性定理是判断函数y=f（x）的零点是否存在的方法。其内容为：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。
下面利用闭区间套定理证明该定理：
假设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\\times f(b)<0。对闭区间[a,b]进行一系列的二等分，得到一系列的闭区间[a_0,a_1],[a_1,a_2],\\ldots,[a_{n-1},a_n]，其中a=a_0<a_1<a_2<\\ldots<a_n=b。
因为函数f在闭区间[a,b]上连续，所以f在闭区间[a_i,a_{i+1}]上也连续，其中i=0,1,2,\\ldots,n-1。
对于i=0，有f(a_0)\\times f(a_1)<0，根据连续函数的性质，在[a_0,a_1]上必然存在一点c_1，使得f(c_1)=0。
类似地，对于i=1,2,3,\\ldots,n-1，在[a_i,a_{i+1}]上分别存在一点c_2,c_3,c_4,\\ldots,c_n，使得f(c_i)=0。
因为c_1<c_2<c_3<\\ldots<c_n，且函数f在闭区间[a,b]上连续，所以必然存在一点c，
零点定理主要用于证明在连续函数在闭区间上存在至少一个零点，它其实是介值定理的一种特殊情况。该定理指出，如果函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么在开区间(a, b)内至少存在一个点ξ，使得f(ξ) = 0。
至于求函数的极大值，零点定理本身并不直接适用。求函数的极大值通常需要使用导数和微积分的知识。具体来说，我们可以通过求函数的导数，找到导数等于零的点，然后检查这些点附近的函数值，从而确定函数的极大值。
所以，零点定理本身不能直接用于求函数的极大值，但可以结合其他数学知识或方法来解决相关问题。